미지수를 포함한 사차 다항식의 인수분해

문제

계수가 모두 정수인 다항식 $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $P(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 두 이차 다항식의 곱으로 인수분해된다. (나) 두 이차 다항식 인수의 일차항의 계수는 서로 같다. (다) 두 이차 다항식 인수의 상수항은 서로 연속하는 정수이다. (라) $P(0) = 6$ (마) $P(x)$의 모든 계수의 합은 $0$이다.

이때, $a+b+c$의 값을 구하시오.