함수의 일대일 대응과 역함수 성질

문제

함수 $f(x)$를 $f(x) = \frac{x+k}{|x|+1}$ 으로 정의하자. 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 정의된 일대일 함수이고, 그 역함수 $g(x)$가 $g(0) = -3$을 만족할 때, $y=f(x)$의 그래프 위에 있는 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오. (단, $k$는 실수이다.)