함수 그래프의 교점 개수

문제

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x-2}+3 & (x < 2) \\\\ \sqrt{x-2}+3 & (x \ge 2) \end{cases}$ 함수 $f(x)$가 정의역 전체에서 증가하는 함수이고, 치역이 $\{y \mid y \ge 3\}$일 때, 다음 물음에 답하시오.

$N(m)$을 방정식 $f(x) = x+m$의 서로 다른 실근의 개수라고 할 때, $N(0) + N(1)$의 값은?