함수의 성질과 그래프 교점 분석 문제

문제

실수 $a, b, k, m$에 대하여 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음과 같이 정의된다.

$f(x) = \\frac{ax+b}{x-a}$ (단, $x \ e a$)

$g(x) = \\sqrt{x-k}+m$ (단, $x \\ge k$)

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 자신과 역함수가 같다. 즉, $f(f(x))=x$이다.

(나) 함수 $g(x)$의 그래프는 점 $(1,1)$을 지난다.

(다) 함수 $f(x)$의 그래프와 함수 $g(x)$의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만나며, 이 중 한 교점은 $(1,1)$이다.

(라) 함수 $g(x)$의 그래프와 직선 $y=x$는 오직 한 점에서 만난다.

$f(2)-g(2)$의 값은?