함수, 유리함수, 무리함수 통합 고난도 문제

문제

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 정의되며 다음과 같다. f(x) = \\begin{cases} \\frac{k}{x+1}+a & (x < -1) \\\\ \\sqrt{x+1}+a & (x \\ge -1) \\end{cases} 함수 $f(x)$가 역함수를 가지며, 역함수 $f^{-1}(x)$의 정의역이 $\{y \\mid y \\ge 3\}$일 때, 다음 조건을 만족시킨다.

1. 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x+3$이 서로 다른 두 점에서 만난다.
2. 두 교점의 $y$좌표의 합은 $6$이다.

$k+a$의 값은?