함수 그래프의 교점 개수와 역함수 조건 활용 문제

문제

실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $f(x)$의 점근선은 $x=k$와 $y=-1$이다. (나) $f(0) = 0$. (다) 함수 $y=|f(x)|$의 그래프가 직선 $y=1$과 오직 하나의 교점에서 만난다.

또한, 함수 $h(x)$는 $h(x) = \sqrt{x+p}+q$ ($x \ge -p$)의 형태를 가지며 다음 조건을 만족한다. (라) $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$에 대하여, $f^{-1}(x)=h(x)$인 서로 다른 실수 $x$의 개수는 2개이다. (마) $h(0)=0$.

$k, p, q$는 실수일 때, $f(2k) + h(3p-1)$의 값은?
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