유리함수와 무리함수의 교점 및 자연수 조건 활용

문제

실수 $k$에 대하여 두 함수 $f(x) = \frac{ax+b}{x-2}$ 와 $g(x) = \sqrt{x-k}+k$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(0,-1)$을 지나고, 점근선 중 하나는 $x=2$이다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프는 점 $(k,k)$를 시작점으로 갖는다. (다) 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 오직 한 점에서 만난다. (라) 방정식 $f(x)=g(x)$의 해를 $x_0$라 할 때, $x_0$는 자연수이다.

이때, $k$는 $\frac{p-\sqrt{q}}{r}$ ($p, q, r$은 서로소인 자연수) 형태로 나타낼 수 있다. $p+q+r$의 값을 구하시오.