함수 그래프의 대칭성과 교점의 조건

문제

좌표평면 위에 함수 $f(x)=\frac{ax+b}{x-p}$의 그래프와 함수 $g(x)=\sqrt{x-k}+k$의 그래프가 있다. 다음 조건을 만족시키는 $k$의 모든 값의 합을 구하시오.

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. (나) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(2, 3)$을 지난다. (다) 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 서로 다른 두 점 $P_1, P_2$에서 만난다. (라) 선분 $P_1P_2$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.