함수와 절댓값이 포함된 고난도 문제

문제

함수 $f(x) = \\frac{2x+k}{x-2}$ 와 $g(x) = \\sqrt{x-2}$ 에 대하여 합성함수 $h(x) = |f(g(x))|$ 를 정의한다.

다음 두 조건을 만족시키는 상수 $k$ 에 대하여 $k$ 의 값을 구하시오.

(가) 함수 $f(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다. (나) 함수 $g(x)$ 의 그래프는 점 $(3, 1)$ 을 지난다. (다) 함수 $h(x)$ 의 최솟값은 $2$ 이다. (라) 방정식 $h(x)=3$ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다.