함수 그래프의 성질과 역함수 추론 문제

문제

함수 $f(x)$가 두 상수 $a, b$에 대하여 다음과 같이 정의된다. f(x) = \\begin{cases} \\frac{a}{x-1} + b & (x < 0) \\\\ \\sqrt{x} + d & (x \\ge 0) \\end{cases}

다음 조건을 모두 만족시키는 상수 $a, b, d$와 자연수 $k$에 대하여, $f^{-1}(15)$의 값을 구하시오.

(가) 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 정의되고, 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재한다. (나) $f^{-1}(6) = -1$ 이다. (다) 함수 $y=f(x)$의 그래프와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점 중 $x$좌표가 양수인 점을 $P(k, k)$라 할 때, $k$는 자연수이다.