두 함수와 대칭성, 접선 조건의 결합

문제

좌표평면 위의 두 함수 $f(x)=\sqrt{4x-k}+k$와 $g(x)=\frac{ax+b}{x-1}$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b+k$의 값을 구하시오. (단, $a, b, k$는 상수이다.)

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 접한다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프는 기울기가 음수인 직선 $y=L$에 대하여 대칭이고, 직선 $L$은 원점 $(0,0)$을 지난다. (다) 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 오직 한 점에서 만나며, 이 교점은 직선 $y=x$ 위에 있다.