함수 그래프의 성질과 역함수 추론 문제

문제

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x-p} + q & (x \le m) \\ \sqrt{x-m} + r & (x > m) \end{cases}$ 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 일대일 함수이다. (나) 함수 $f(x)$는 $x=m$에서 연속이다. (다) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점근선 $y=1$을 갖는다. (라) 함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 점근선 $x=4$를 갖는다. (마) $f(0)=2$ 이고 $f(3)=4$ 이다.

이때, 상수 $k$의 값을 구하시오.