함수 그래프의 대칭성, 절댓값, 합성함수 교점 개수

문제

두 함수 $f(x) = \frac{ax+b}{x-1}$와 $g(x) = \sqrt{cx-d}+e$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(1, 2)$에 대하여 대칭이고, 점 $(0,0)$을 지난다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프는 점 $(2, 1)$에서 시작하여 오른쪽 위로 향하며, 점 $(3, 2)$를 지난다. (다) 함수 $h(x)=|f(x)-f(2)|$에 대하여, 직선 $y=k$가 $y=h(x)$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 자연수 $k$의 최솟값은 $m$이다. 이때 방정식 $g(f(x))=m$의 서로 다른 실근의 개수는 $p$개이다.

$a+b+c+d+e+m+p$의 값을 구하시오. (단, $c>0$이다.)