두 함수의 그래프 관계와 합성함수의 치역

문제

좌표평면 위에 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다. 함수 $f(x)$는 점근선이 $x=2$와 $y=2$인 유리함수이고, 함수 $g(x)$는 시작점이 $(2,1)$인 무리함수이다. 다음 조건을 만족할 때, 함수 $y=(f \circ g)(x)$의 치역에 포함되지 않는 모든 정수 값의 합을 구하시오.

(가) 함수 $f(x)$는 $f(x) = \frac{A}{x-p}+q$ 형태로 표현되며, $p, q$는 상수이다. (나) 함수 $g(x)$는 $g(x) = a\sqrt{x-m}+n$ 형태로 표현되며, $a, m, n$은 상수이다. (다) 함수 $g(x)$의 그래프는 점 $(3,2)$를 지난다. (라) $x>2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$의 그래프와 $g(x)$의 그래프는 단 한 점에서 접한다.