함수와 유리함수, 무리함수의 복합적 추론 문제

문제

두 함수 $f(x) = \frac{ax+b}{x+c}$와 $g(x) = \sqrt{px+q}+r$에 대하여 다음 조건들을 만족시킨다.

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(0, 2)$를 지나고, 두 점근선의 교점은 $(1, 3)$이다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프의 시작점은 $(4, 0)$이고, $g(x)$는 증가함수이다. (다) 함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프와 함수 $y=g(x)$의 그래프는 $y>0$인 영역에서 단 한 점 $(x_0, y_0)$에서 만난다. (라) 합성함수 $(f \circ g)(13)$의 값은 정수이다.

이때, $f(2) + g(5)$의 값은?