절댓값 포함 유리함수와 무리함수의 교점 및 합성함수 조건 문제

문제

함수 $f(x) = \\left| \\frac{a}{x-1} + 2 \\right|$ 와 함수 $g(x) = \\sqrt{k-x} + 2$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 상수 $a, k$ 의 합 $a+k$ 의 값을 구하시오. (단, $a$는 $0$이 아닌 실수이다.)

(가) 함수 $f(x)$는 구간 $[m, \\infty)$ 에서 일대일함수가 되도록 하는 실수 $m$의 최솟값이 $1$이다. (나) 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 $x \\in [1, k]$인 구간에서 서로 다른 두 점에서 만난다. (다) 합성함수 $(f \\circ g)(x)$의 정의역은 $[1, 10]$이다.