함수, 유리함수, 무리함수의 복합적 추론

문제

좌표평면 위에 두 함수 $f(x) = \\frac{ax+b}{x-1}$와 $g(x) = \\sqrt{p(x-1)}+2$가 있다. 다음 조건들을 만족할 때, 상수 $k$의 값은?

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 원점 $(0,0)$을 지난다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프는 $y=f(x)$의 점근선의 교점을 시작점으로 하며, $y=f(x)$의 그래프와 한 점에서만 만난다. (다) 함수 $y=g(x)$의 역함수 $y=g^{-1}(x)$의 그래프와 직선 $y=x+k$는 한 점에서만 만난다.