무리함수, 유리함수, 역함수의 심층 분석 문제

문제

함수 $f(x) = \sqrt{x-k}+k$ 의 역함수를 $f^{-1}(x)$ 라 하자. 두 함수 $y=f(x)$ 와 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프가 서로 다른 두 점 $P_1, P_2$ 에서 만날 때, 이 두 점을 모두 지나는 유리함수 $g(x) = \frac{ax+b}{x+c}$ 가 있다. $g(x)$ 의 그래프가 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭일 때, $g(k+3)$ 의 값을 구하시오. (단, $k$는 상수이다.)