유리함수와 무리함수로 정의된 조각적 함수의 일대일 대응 조건

문제

실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)=\frac{(2-k)x+(3k-5)}{x-2}$ 와 $g(x)=\sqrt{m(x-4)}+2$ 가 있다. (단, $m$은 양의 상수이다.) 함수 $f(x)$의 그래프는 직선 $y=x-k$ 에 대하여 대칭이며, $f(3)=1$ 이다. $x \ge 4$ 인 모든 실수 $x$에 대하여 정의되는 함수 $h(x)$가 임의의 실수 $p$에 대하여 다음과 같이 주어질 때, 함수 $h(x)$가 일대일 대응이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하시오.

$h(x) = \begin{cases} f(x) & (4 \le x < p) \\\\ g(x) & (x \ge p) \end{cases}$