함수와 대칭성에 대한 심화 문제

문제

함수 $f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$에 대하여, $b \ eq -ac$이고 함수 $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=x$에 대하여 대칭일 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $a$의 값의 합을 구하시오.

(가) 함수 $g(x) = |f(x)|$는 어떤 실수 $k$에 대하여 구간 $[k, \infty)$에서 일대일함수이다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프와 직선 $y=x$는 오직 한 점에서 만난다.