두 함수의 정수 교점 개수 (고난도)

문제

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$의 그래프는 두 직선 $y=x$와 $y=-x+2$에 대하여 각각 대칭이다. (나) $f(2)=3$이다.

함수 $g(x)=\sqrt{x-a}+b$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 $a, b$의 순서쌍 $(a,b)$의 개수를 구하시오. (다) 함수 $f(x)$와 함수 $g(x)$의 그래프 위에 있는 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수가 정확히 2개이다.