함수 그래프 분석 및 미정계수 결정 문제

문제

함수 $h(x)$가 다음과 같이 정의된다. $h(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{x-2} & (x < 2) \\\\ \sqrt{ax+b}+c & (x \ge 2) \end{cases}$

방정식 $h(x)=m$의 서로 다른 실근의 개수가 정확히 2개가 되도록 하는 모든 실수 $m$의 값의 집합이 $(M_1, M_2)$이다. $M_1 \cdot M_2 = \frac{1}{2}$일 때, 함수 $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프가 직선 $y=x$와 오직 한 점에서 만난다. 상수 $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오. (단, $a>0$이다.)