유리함수와 무리함수의 교점에 대한 심화 분석

문제

두 함수 $f(x)=\frac{ax+b}{x-1}$와 $g(x)=\sqrt{x-c}+d$가 다음 조건을 만족한다.

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(1, -1)$에 대하여 대칭이다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프는 점 $(m, -1)$에서 시작하며, $m$은 정수이고 $m \ge 1$이다. (다) 함수 $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=g(x)$의 그래프는 오직 한 점에서 만난다. (라) 함수 $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=g^{-1}(x)$의 그래프는 오직 한 점에서 만난다.

상수 $a, b, c, d$는 실수이고 $f(x) \ eq -1$이다. $k=a+b$로 정의할 때, $k+m$의 최댓값을 구하시오. (단, $g^{-1}(x)$는 $g(x)$의 역함수이다.)