유리함수와 무리함수의 교점 분석

문제

함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x) = \frac{ax+b}{x-c}$의 그래프는 점 $(1,3)$에 대하여 대칭이고, 점 $(2,5)$를 지난다. (나) 함수 $g(x) = \sqrt{x+d}+e$의 정의역은 $[1, \infty)$이고, 점 $(2,2)$를 지난다.

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$의 해가 $x=\alpha$일 때, $\alpha$가 속하는 구간 $[k, k+1]$에 있는 정수 $k$의 개수를 구하시오. (단, $k$는 정수이다.)