절댓값을 포함한 이차방정식의 정수근 조건

문제

실수 $a, b$에 대하여 이차방정식 $x^2 - (|a-2|+2)x + (|b-1|-1) = 0$ 이 있다. 이 방정식의 두 근을 $\\alpha, \\beta$라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 $a, b$ 값에 대하여 $a+b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M-m$의 값은?

(가) 방정식의 두 근 $\\alpha, \\beta$는 모두 정수이다. (나) 두 근의 곱 $\\alpha\\beta$는 음이 아닌 정수이다. (다) $|\\alpha-\\beta| = 2$ 이다. (라) $a \\ge 0, b \\ge 0$ 이다. (마) $|\\alpha|+|\\beta| < 10$ 이다.