킬러 이차방정식과 이차함수의 통합 문제

문제

실수 $k$와 정수 $a$에 대하여 이차방정식 $x^2 + (k-a)x + k^2 - 2k - 3 = 0$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 이차방정식 $x^2 + (k-a)x + k^2 - 2k - 3 = 0$은 서로 다른 두 정수 근을 갖는다. (나) 이차함수 $f(x) = x^2 + (k-a)x + k^2 - 2k - 3$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge -4$를 만족한다. (다) 이차함수 $g(x) = x^2 - 2kx + k^2$에 대하여 닫힌 구간 $[-1, 2]$에서의 최솟값을 $M$이라 할 때, $|M|=4$이다.

위 조건을 모두 만족시키는 모든 실수 $k$ 값의 합을 구하시오.