정수 조건과 근의 분리, 절댓값 함수를 활용한 이차방정식 문제

문제

두 정수 $a, b$에 대하여 이차방정식 $x^2 - 2ax + b = 0$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 이차방정식 $x^2 - 2ax + b = 0$은 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가지며, $\alpha < \beta$이다.

(나) $-2 < \alpha < -1$ 이고 $1 < \beta < 2$ 이다.

(다) 방정식 $|x^2 - 2ax + b| = k$를 만족시키는 서로 다른 실근의 개수가 4개가 되도록 하는 정수 $k$의 값은 정확히 2개 존재한다.

이때, $a+b$의 값을 구하시오.