두 이차방정식의 정수근과 공통근 조건

문제

다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오. (단, $m, k$는 0이 아닌 정수이다.)

두 이차방정식 $x^2 - (m+3)x + 2m+3 = 0$ (ㄱ)과 $x^2 - (2k-1)x + k^2-k = 0$ (ㄴ)이 주어져 있다.

(가) 방정식 (ㄱ)은 정수 해를 갖는다. (나) 방정식 (ㄴ)은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (다) 방정식 (ㄱ)의 두 해를 각각 $\\alpha_1, \\alpha_2$라 하고, 방정식 (ㄴ)의 두 해를 각각 $\\beta_1, \\beta_2$라 할 때, 집합 $\{\\alpha_1, \\alpha_2\}$ 와 집합 $\{\\beta_1, \\beta_2\}$ 의 교집합의 원소의 개수는 1이다.