두 이차방정식의 정수해 및 집합 조건

문제

두 이차방정식 $P(x) = x^2 - (a+1)x + a = 0$과 $Q(x) = x^2 - (b+4)x + 2b = 0$ 이 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $P(x)=0$ 은 서로 다른 두 정수해를 갖는다. (나) $Q(x)=0$ 은 서로 다른 두 정수해를 갖는다. (다) $P(x)=0$ 의 해의 집합과 $Q(x)=0$ 의 해의 집합은 서로소이다. (라) $a$ 와 $b$ 는 모두 정수이고, $|a+b|$ 는 소수이다.

위 조건을 만족하는 $a \times b$ 의 최댓값을 구하시오.