이차방정식의 정수근과 절댓값 조건 활용

문제

두 실수 $m, k$에 대하여 이차방정식 $x^2 + (m-3)x - 2m^2 + 5m + k = 0$이 다음 조건을 만족한다.

(가) 이 이차방정식은 서로 다른 두 정수근 $\alpha, \beta$를 갖는다. (나) $m$은 정수이다. (다) $k$는 자연수이다. (라) $|\alpha| + |\beta| = 5$ 이다.

이때, 모든 가능한 $k$ 값의 합을 구하시오.