정수근과 이차방정식의 추론

문제

정수 $k$에 대하여 다음 두 이차방정식 $P(x)=0$과 $Q(z)=0$이 모두 서로 다른 두 정수근을 갖는다.

$(P)\quad x^2 - (k^2+1)x + k^2 = 0$ $(Q)\quad z^2 - (k-3)z - (k^2-3k-10) = 0$

$P(x)=0$의 두 근을 $x_1, x_2$라 하고, $Q(z)=0$의 두 근을 $z_1, z_2$라 할 때, $S_k = \max(x_1, x_2) \cdot \min(z_1, z_2) - \min(x_1, x_2) \cdot \max(z_1, z_2)$ 의 최댓값은?