정수 계수를 갖는 이차방정식의 근과 계수 관계 활용 문제

문제

두 정수 $k, m$에 대하여 이차방정식 $P(x) = x^2 - (2k+1)x + k^2 - k + m = 0$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $P(x) = 0$ 은 서로 다른 두 정수해를 갖는다. (나) 방정식 $P(x) = 0$ 의 한 해는 한 자리 양의 소수이다. (다) 방정식 $P(x) = 0$ 의 두 해의 곱은 짝수이다. (라) 방정식 $P(x) = 0$ 의 두 해의 합의 절댓값은 소수이다.

또한, 이차방정식 $Q(x) = x^2 - (m+1)x + k = 0$ 은 다음 조건을 만족시킨다.

(마) 방정식 $Q(x) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

위 조건을 모두 만족하는 정수 $m$의 최댓값은?