이차방정식의 정수 해 조건과 계수 분석

문제

최고차항의 계수가 $1$인 이차방정식 $x^2 + (k-2)x + (k^2-2k-1) = 0$이 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, 모든 정수 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 이차방정식은 서로 다른 두 정수 해 $\alpha, \beta$를 갖는다. (나) 해 $\alpha, \beta$는 $\alpha^2 + \beta^2 < 10$을 만족한다.