이차방정식의 해 조건에 따른 파라미터 합 구하기

문제

두 양의 정수 $k, p$에 대하여 이차방정식 $x^2 - (k+p+2)x + (kp+2k+2p) = 0$이 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 이 방정식은 서로 다른 두 양의 정수 해를 갖는다.

(나) 방정식의 두 해 중 하나는 $3k-p$이다.

(다) $k$는 어떤 자연수의 제곱이다.

(라) 방정식의 두 해 중 큰 해는 20보다 작다.

위 조건을 모두 만족하는 모든 $p$ 값들의 합을 구하시오.