두 이차방정식과 부등식의 복합 조건 문제

문제

최고차항의 계수가 $1$인 두 이차방정식 $x^2+ax+b=0$과 $x^2-bx+k=0$이 다음 조건을 만족한다. $k$의 최솟값을 구하시오. (단, $a, b$는 정수이다.)

(가) 이차방정식 $x^2+ax+b=0$은 서로 다른 두 정수해를 갖는다.

(나) 이차부등식 $x^2+ax+b < 0$을 만족하는 정수 $x$의 개수는 $7$개이다.

(다) 이차방정식 $x^2-bx+k=0$은 서로 다른 두 허근을 가지며, 이 방정식의 두 근의 합은 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 두 근의 합보다 크다.