정수 해를 갖는 이차방정식과 이차함수의 최솟값

문제

정수 $m, k$에 대하여 다음 두 이차방정식이 모두 서로 다른 두 양의 정수 해를 갖는다고 하자.

I. $x^2 - (m-1)x + (k-3) = 0$

II. $x^2 - (k-3)x + (m-1) = 0$

방정식 I의 두 해를 $\\alpha, \\beta$라 하고, 방정식 II의 두 해를 $\\gamma, \\delta$라 할 때, $\\alpha, \\beta, \\gamma, \\delta$는 모두 서로 다른 정수이다. 단, $\\alpha < \\beta$이고 $\\gamma < \\delta$이다.

$m+k$의 값을 $A$라 하자. 이때, 이차함수 $f(x) = x^2 - (\\alpha+\\gamma)x + (\\beta\\delta)$의 최솟값을 $B$라 할 때, $A+4B$의 값을 구하시오.