두 자연수 해를 갖는 이차방정식

문제

자연수 $m, n$에 대하여 이차방정식 $x^2 - (2m+1)x + m^2 - n^2 + k = 0$ 이 서로 다른 두 자연수 해를 가질 때, 다음 조건을 만족한다.

(가) $m, n$은 $1$ 이상 $9$ 이하의 자연수이다. (나) $k$는 정수이다.

가능한 모든 $k$ 값의 합을 구하시오.