공통근을 갖는 두 이차방정식의 정수 조건 문제

문제

두 이차방정식 $f(x) = x^2 - (2a+1)x + a^2+a+k = 0$과 $g(x) = x^2 - (2b+1)x + b^2+b+k = 0$이 있다. 여기서 $a, b$는 서로 다른 정수이고, $k$는 정수이다. 다음 조건을 만족할 때, $a+b+k$의 최댓값을 구하시오.

(가) 두 이차방정식 $f(x)=0$과 $g(x)=0$은 모두 서로 다른 두 실근을 갖는다. (나) 두 이차방정식 $f(x)=0$과 $g(x)=0$은 오직 하나의 공통근을 갖는다. (다) $f(x)=0$의 두 근과 $g(x)=0$의 두 근을 모두 합한 값은 0이다.