두 이차방정식의 정수근과 계수 조건 추론 문제의 정답은?

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매우 어려움방정식과 부등식

두 이차방정식의 정수근과 계수 조건 추론 문제

두 이차방정식의 정수근 조건, 근의 위치 조건, 근과 계수의 관계, 그리고 판별식 등을 종합적으로 활용하여 미지 계수의 최솟값을 구하는 고난도 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 1학년

문제

두 이차방정식 $E_1: x^2 - (2a+1)x + a^2 + k = 0$ $E_2: x^2 - (3a-k)x + P = 0$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a, k$ 는 정수이고, $E_1$ 은 서로 다른 두 정수근 $\alpha, \beta$ 를 갖는다. (나) $E_2$ 는 서로 다른 두 정수근 $\gamma, \delta$ 를 가지며, $P$ 는 양의 정수이다. (다) $E_1$ 의 두 근 $\alpha, \beta$ 는 $\alpha < 1$ 이고 $\beta > 3$ 이다. (라) $E_2$ 의 두 근의 합은 $10$ 보다 크다. 즉, $\gamma + \delta > 10$ 이다. (마) 네 근 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 는 모두 서로 다른 정수이다.