두 이차방정식의 관계와 최솟값

문제

두 이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 2k - 3 = 0$ 과 $x^2 + px + q = 0$ 이 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 첫 번째 이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 2k - 3 = 0$ 은 서로 다른 두 양의 정수근 $\alpha, \beta$ 를 갖는다. (나) 두 번째 이차방정식 $x^2 + px + q = 0$ 의 두 근은 $\frac{|\alpha|}{2}, \frac{|\beta|}{2}$ 이다. (다) $k, p, q$ 는 모두 정수이다.

이때, $p+q$ 의 최솟값을 구하시오.