이차방정식의 정수근과 조건 추론 문제

문제

정수 $a, b$에 대하여 이차방정식 $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + b = 0$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 서로 다른 두 정수근을 갖는다. (나) 두 근의 곱은 소수이다. (다) 이차함수 $f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + b$의 최솟값은 $-2$보다 크다. (라) 이차함수 $f(x)$의 그래프의 축은 $x>0$인 영역에 위치한다.

이때, $a+b$의 값은?