이차방정식과 이차함수의 조건 만족하는 정수 찾기

문제

실수 $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 5k + 9 = 0$ 이 다음 세 조건을 모두 만족하도록 하는 모든 정수 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 이차방정식은 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 갖는다. (나) $|\alpha - \beta|$는 자연수이다. (다) 이차함수 $f(x) = x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 5k + 9$가 닫힌구간 $[0, 3]$에서 갖는 최솟값은 음수이다.