이차방정식의 근 변형과 소수 조건 추론 문제

문제

자연수 $m$에 대하여 이차방정식 $x^2 - (m+1)x + m = 0$의 두 실근을 $\\alpha, \\beta$라 하자. 두 근이 $\\alpha+1, \\beta+1$인 새로운 이차방정식을 $y^2 - Ay + B = 0$이라 할 때, $A$와 $B$는 $m$에 대한 식으로 표현된다. 이때, $A+B$가 소수가 되도록 하고, 또한 $|\\alpha+\\beta| < 10$을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오. (단, $\\alpha \ eq \\beta$ 이며, $m$은 1이 아닌 자연수이다.)