두 이차방정식의 정수근과 실근 판별 조건

문제

두 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$과 $x^2 - (a-c)x + (b+c-1) = 0$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$은 서로 다른 두 양의 정수근을 갖는다. (나) $a, b$는 양의 정수이고 $b \le 10$이다. (다) $a+b$는 완전제곱수이다. (라) 이차방정식 $x^2 - (a-c)x + (b+c-1) = 0$은 실근을 갖지 않는다. (마) $c$는 정수이다.

위 조건을 모두 만족시키는 모든 정수 $c$ 값의 합을 구하시오.