정수근과 매개변수 조건을 갖는 이차방정식

문제

$x$에 대한 이차방정식 $x^2 - (3m+1)x + (m^2+m+k) = 0$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 이 이차방정식은 서로 다른 두 정수해를 갖는다. (나) $m$과 $k$는 정수이다. (다) 한 근은 $1$ 이상 $5$ 이하의 정수이다. (라) 다른 한 근의 절댓값은 $10$ 이하이다.

이때, 가능한 모든 정수 $k$ 값의 합을 구하시오.