두 이차방정식의 공통근과 계수의 관계

문제

두 이차방정식 $x^2 + (m-1)x + m = 0 \quad \cdots ①$ $x^2 + nx + (n+2) = 0 \quad \cdots ②$ 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시키는 두 정수 $m, n$의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 찾고, $m+n$의 최댓값을 구하시오.

(가) 두 이차방정식 ①과 ②는 오직 하나의 공통근을 갖는다. (나) 두 이차방정식 ①과 ②는 각각 서로 다른 두 실근을 갖는다. (다) 공통근은 정수이다.