두 이차방정식의 공통근과 정수근 조건 문제

문제

두 이차방정식 $x^2 - (m+3)x + 2m+2 = 0$ 과 $x^2 + (k-2)x - k+1 = 0$ 이 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 이차방정식 $x^2 - (m+3)x + 2m+2 = 0$ 은 서로 다른 두 정수근을 갖는다. (나) 두 이차방정식은 공통근을 가지며, 두 번째 이차방정식 $x^2 + (k-2)x - k+1 = 0$ 의 다른 한 근도 정수이다.

이때, 상수 $k$의 모든 값의 곱을 구하시오.