이차방정식과 이차함수의 통합 조건 문제

문제

실수 $k$와 정수 $m$에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $k$의 최솟값은? (단, $m>1$)

(가) 이차방정식 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ 은 서로 다른 두 양의 정수근을 갖는다. (나) 이차방정식 $x^2 - (k+2)x + A = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖고, 이 중 한 근은 (가)의 두 근의 합과 같다. 이때, $A$는 상수이다. (다) 모든 실수 $x$에 대하여 이차함수 $f(x) = x^2 - (\text{가}의 두 근의 곱)x + (k-m) \\ge 0$ 이 성립한다.