두 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 공통근 문제

문제

두 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0 \\quad \\cdots \text{ (ㄱ)}$ $x^2 - (m+1)x + 2m = 0 \\quad \\cdots \text{ (ㄴ)}$ 에 대하여 다음 조건들이 모두 성립할 때, 가능한 모든 실수 $m$의 값의 합을 구하시오.

(가) 이차방정식 (ㄱ)은 서로 다른 두 실근 $\\alpha, \\beta$를 가지며, 계수 $a, b$는 정수이다. (나) 이차방정식 (ㄱ)의 두 근 $\\alpha, \\beta$는 $|\\alpha| + |\\beta| = 5$ 와 $\\alpha^2 + \\beta^2 = 13$ 을 만족한다. (다) 이차방정식 (ㄴ)은 두 실근을 가지며, (ㄴ)의 한 근은 (ㄱ)의 근 중 하나이다.