두 이차방정식의 근과 계수 추론 문제

문제

두 이차방정식 $P(x) = x^2 + (k-3)x + (k^2-k-6) = 0$과 $Q(x) = x^2 + ax + b = 0$이 다음 조건을 만족한다.

(가) 이차방정식 $P(x)=0$은 서로 다른 두 정수근을 갖는다. (나) 이차방정식 $Q(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (다) 두 이차방정식 $P(x)=0$과 $Q(x)=0$은 정확히 하나의 공통근을 갖는다. (라) $a, b, k$는 모두 정수이고, $Q(x)=0$의 두 근의 절댓값은 모두 10보다 작다.

이때, $a+b$의 최댓값을 구하시오.